5.2 标准形 - 线上练习
满分: 14分
  1. (单选题, 2分) 按配方法的一般规则, 以下配方过程是否规范? \[\begin{array}{rcl} f & = & x_1^2-3x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3-6x_2x_3 \\ & = & x_1^2+2x_1(x_2-2x_3)-3x_2^2+2x_3^2-6x_2x_3 \\ & = & (x_1+x_2-2x_3)^2-4x_2^2-2x_2x_3-2x_3^2 \\ & = & (x_1+x_2-2x_3)^2-2(x_3+\frac{1}{2}x_2)^2-\frac{7}{2}x_2^2. \end{array}\]


  2. (单选题, 4分) 用配方法把二次型$f=x_1x_2-x_2x_3+x_3x_4-x_4x_1$化为标准形, 标准形中有几个系数非零的平方项?




  3. (单选题, 2分) 对二次型$f=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2$, 令 \[\left\{\begin{array}{l} y_1=x_1-x_2, \\ y_2=x_2-x_3, \\ y_3=x_3-x_1, \end{array}\right.\] 代入得其标准形为$f=y_1^2+y_2^2+y_3^2$, 这样计算是否正确?


  4. (单选题, 2分) 对二次型$f=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2+(x_3+x_1)^2$, 令 \[\left\{\begin{array}{l} y_1=x_1+x_2, \\ y_2=x_2+x_3, \\ y_3=x_3+x_1, \end{array}\right.\] 代入得其标准形为$f=y_1^2+y_2^2+y_3^2$, 这样计算是否正确?


  5. (单选题, 4分) 设$f=x_1x_2+x_1x_3-3x_2x_3$, 考察线性替换 \[\RI: \left\{\begin{array}{l} x_1=y_1+y_2+3y_3, \\ x_2=y_1-y_2-y_3, \\ x_3=y_3, \end{array}\right. \quad \RII: \left\{\begin{array}{l} x_1=z_1+3z_2+z_3, \\ x_2=z_2, \\ x_3=-z_1-z_2+z_3, \end{array}\right.\] 问$f$是否可以经过$\RI,\RII$化为标准形? (提示: 利用合同关系.)




注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.