5.3 唯一性与规范形 - 线上练习
满分: 18分
(单选题, 4分) 设$A,B$是$n$阶复对称矩阵, 则"$A$与$B$在复数域上合同"是"$A$与$B$等价"的$(\qquad)$条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
(多选题, 4分) 设$A,B$为$n$阶实对称矩阵, 则$A,B$合同的充要条件是$(\qquad)$.
A. $A,B$有相同的正, 负惯性指数
B. $A,B$有相同的秩和正惯性指数
C. $A,B$有相同的符号差和负惯性指数
D. $A,B$有相同的秩和符号差
(单选题, 4分) 设4元实二次型$f=2y_2^2−3y_3^2+5y_4^2$, 考察线性替换 \[\RI: \begin{cases} y_1=z_1, \\ y_2=\frac{1}{\sqrt{2}}z_2, \\ y_3=\frac{1}{\sqrt{3}}z_4, \\ y_4=\frac{1}{\sqrt{5}}z_3, \\ \end{cases} \qquad \RII: \begin{cases} y_1=z_4, \\ y_2=\frac{1}{\sqrt{2}}z_2, \\ y_3=\frac{1}{\sqrt{3}}z_3, \\ y_4=-\frac{1}{\sqrt{5}}z_1. \\ \end{cases}\] 问$\RI,\RII$是否可以化$f$为规范形?
A. $\RI$可以, $\RII$不可以
B. $\RI$不可以, $\RII$可以
C. $\RI$, $\RII$都可以
D. $\RI$, $\RII$都不可以
(单选题, 2分) $f=\begin{vmatrix} 0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1 & 0 & 1 & 1 \\ x_2 & 1 & 0 & 1 \\ x_3 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$ 是不是实二次型?
A. 是
B. 不是
(填空题, 每空2分) (接上一题)如果 $f=\begin{vmatrix} 0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1 & 0 & 1 & 1 \\ x_2 & 1 & 0 & 1 \\ x_3 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$ 是实二次型, 那么它的正惯性指数为$\underline{\qquad}$, 负惯性指数为$\underline{\qquad}$.
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.