5.4 正定二次型 - 线上练习
满分: 20分
(多选题, 4分) 设$A$是$n$阶实对称矩阵, 则$A$正定的充要条件有$(\qquad)$.
A. $A$合同于单位阵$E_n$
B. 存在方阵$C$使得$A=C^T C$
C. $A$的正惯性指数为$n$
D. $A$的负惯性指数为0
(填空题, 每空2分) 设实二次型$f=x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+2tx_1 x_2−2x_1 x_3+4x_2 x_3$, 则当$\underline{\qquad} \ll t \ll \underline{\qquad}$时, $f$正定.
(单选题, 4分) 设$A$是实对称矩阵, 则$A$负定的充要条件是$A$的$(\qquad)$
A. 所有顺序主子式都小于零
B. 所有顺序主子式都大于零
C. 奇数阶顺序主子式小于零, 偶数阶顺序主子式大于零
D. 奇数阶顺序主子式大于零, 偶数阶顺序主子式小于零
(填空题, 每空2分) 设实二次型 $f=−x_1^2−2x_2^2+(t−1) x_3^2−2tx_1 x_2−2x_1 x_3,$ 则当 $\underline{\qquad} \ll t \ll \underline{\qquad}$ 时,$f$负定.
(单选题, 4分) 设$A$是实对称矩阵, 则"$A$的所有顺序主子式都大于或等于零"是"$A$半正定"的$(\qquad)$条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.