6.1 线性空间的定义与性质 - 线上练习
满分: 12分
(单选题, 4分) 设非空集合$V$为实数域$\mathbb{R}$, 设$a,b,k\in \mathbb{R}$, 分别定义加法$\oplus$和数乘$\circ$如下: \[\RI\; a\oplus b=a+b,k\circ a=\frac{k}{2}a, \quad \RII\; a\oplus b=a+b+1,k\circ a=ka.\] 问$V$在如上运算下是不是实数域$\mathbb{R}$上的线性空间?
A. 在$\RI$下是, 在$\RII$下不是
B. 在$\RI$下不是, 在$\RII$下是
C. 在$\RI$, $\RII$下都是
D. 在$\RI$, $\RII$下都不是
(单选题, 4分) 设$P$是数域, 分别记 \[W = \{ f(x) \in P[x]|f(1)=0 \}, \quad U = \{ A \in P^{n \times n}|A^T = -A \}.\] 问$W,U$是不是线性空间?
A. $W$是, $U$不是
B. $W$不是, $U$是
C. $W,U$都是
D. $W,U$都不是
(单选题, 4分) 记实对称矩阵 $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, 令 \[W=\{X\in \mathbb{R}^2│X^T AX=0 \}, \quad U=\{X\in \mathbb{R}^2|X^T BX=0\}.\] 问$W,U$是不是实数域$\mathbb{R}$上的线性空间?
A. $W$是, $U$不是
B. $W$不是, $U$是
C. $W,U$都是
D. $W,U$都不是
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.