6.4 线性子空间 - 线上练习
满分: 22分
(单选题, 4分) 在线性空间$P^n$中, 以下子集哪个是子空间? 其中 $\alpha = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$.
A. $\{\alpha\in P^n|\sum_{i=1}^nx_i =1\}$
B. $\{\alpha\in P^n|\sum_{i=1}^nx_i=0\}$
C. $\{\alpha\in P^n|\prod_{i=1}^nx_i=0\}$
D. $\{\alpha\in P^n|x_i\geqslant 0, 1\leqslant i \leqslant n\}$
(单选题, 4分) 设$W_1,W_2$是线性空间$V$的子空间, 则"$W_1\subset W_2$"是"$\dim W_1\leqslant \dim W_2$"的$(\qquad)$条件?
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
(填空题, 每空2分) 记数域$P$上的齐次线性方程组 $\begin{cases} ax_1 +x_2 +x_3 = 0 \\ x_1 +ax_2 +x_3 = 0 \\ x_1 +x_2 +ax_3 = 0 \\ \end{cases}$ 的解空间为$W$. 如果$\dim W=1$, 那么$a=\underline{\qquad}$, 如果$\dim W=2$, 那么$a=\underline{\qquad}$.
(填空题, 每空4分) 在$P^4$中,设 $\alpha_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}, \alpha_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}, \alpha_3 = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}, \alpha_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$, 则$\dim L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\underline{\qquad}$ .
(单选题, 2分) 取定$A\in P^{n\times n},\lambda_0\in P$, 记$W=\{X\in P^n|A\xi=\lambda_0 \xi\}$, 问$W$是不是$P^n$的子空间?
A. 是
B. 不是
(填空题, 每空2分) (接上一题) 如果 $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4 \end{pmatrix}$, 那么$W\neq\{0\}$的充分必要条件为$\lambda_0=\underline{\qquad}$或$\underline{\qquad}$.
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.