6.5 子空间的交与和 - 线上练习
满分: 12分
  1. (填空题, 每空2分) 在线性空间$P^4$中, 令 \[\alpha_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \alpha_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \alpha_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \quad \beta_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \beta_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \beta_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix},\] 并记$W=L(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_3), U=L(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$, 则$\dim(W+U)=\underline{\qquad}, \dim(W\cap U)=\underline{\qquad}$.
  2. (填空题, 每空2分) 设$A,B\in P^{5\times 5}$, 分别记齐次线性方程组$AX=0, BX=0$的解空间为$V_A,V_B$. 如果$R(A)=R(B)=2$, 那么$\dim (V_A\cap V_B)$最大可能为$\underline{\qquad}$, 最小可能为$\underline{\qquad}$.
  3. (填空题, 每空2分) 设$P$是数域, 在$P[x]_4$中, 考查子空间 \[W=\{f\in P[x]_4|f(a)=0\}, \quad U=\{f\in P[x]_4|f(b)=0\}.\] 则$\dim(W + U)$可能的取值为$\underline{\qquad},\underline{\qquad}$.
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.