6.6 直和 - 线上练习
满分: 14分
  1. (填空题, 每空2分) 分别记数域$P$上的齐次线性方程组 \[\left\{\begin{array}{l} ax_1-x_2-x_3+x_4=0, \\ -x_1+ax_2+x_3-x_4=0, \end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l} -x_1+x_2+ax_3-x_4=0, \\ x_1-x_2-x_3+ax_4=0, \end{array}\right.\] 的解空间为$W,U$. 若$W+U$不是直和, 则$a=\underline{\qquad}$或$\underline{\qquad}$.
  2. (填空题, 每空2分) 在线性空间$P^4$中, 令 \[\alpha_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \alpha_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \\ a \end{pmatrix}, \quad \alpha_3=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ b \\ -9 \end{pmatrix}, \quad \alpha_4=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 10 \\ c \end{pmatrix},\] 并记$W=L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$. 如果$W$的补空间的维数为$2$, 那么$a=\underline{\qquad}$, $b=\underline{\qquad}$, $c=\underline{\qquad}$.
  3. (单选题, 4分) 设$V$是数域$P$上的线性空间, $V_1, V_2,V_3$是$V$的子空间, 则"$V_1\cap V_2=V_2\cap V_3=V_3\cap V_1=\{0\}$"是"$V_1+V_2+V_3$是直和"的$(\quad)$条件.




注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.