7.1 线性变换的定义 - 线上练习
满分: 8分
(单选题, 4分) 设$\mathcal{A}$是线性空间$V$上的线性变换, $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\in V$, 则"$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性无关"是"$\mathcal{A}\alpha_1,\mathcal{A}\alpha_2,\ldots,\mathcal{A}\alpha_m$线性无关"的$(\qquad)$条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
(多选题, 4分) 设$P$是数域, 以下哪些是线性变换?
A. 在$P^3$中, 定义$\mathcal{A} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x_1-x_2 \\ x_2+x_3 \\ x_1 \end{pmatrix}$.
B. 取定$A\in P^{n\times n}$, 在$P^{n\times n}$中定义$\mathcal{A}(Y)=AYA$.
C. 取定$A\in P^{n\times n}$, 在$P^{n\times n}$中定义$\mathcal{A}(Y)=YAY$.
D. 取定$\alpha\in\mathbb{R}^3$中, 在$\mathbb{R}^3$中, 定义$\mathcal{A}(\xi)=\alpha\times\xi$,其中$\times$表示外积.
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.