7.3 线性变换的矩阵(前半) - 线上练习
满分: 20分
  1. (单选题, 4分) 设$\mathcal{A}, \mathcal{B}$是线性空间$V$上的线性变换, $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_n$是$V$的一组基, 则"$\mathcal{A}\varepsilon_i=-\mathcal{B}\varepsilon_i, i=1,2,\ldots,n$"是"$\mathcal{A}+\mathcal{B}=\mathcal{O}$"的$(\qquad)$条件.




  2. (填空题, 每空1分) 在线性空间$P^2$中, 定义线性变换 $\mathcal{A} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -x_2 \\ x_1 \end{pmatrix}$. 设$\mathcal{A}$在基 $\eta_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \eta_2=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$下的矩阵为$A$, 则$A$的第1行第1列元素为$\underline{\qquad}$, 第1行第2列元素为$\underline{\qquad}$, 第2行第1列元素为$\underline{\qquad}$, 第2行第2列元素为$\underline{\qquad}$.
  3. (填空题, 每空1分) 在线性空间$P[x]_3$中, 定义线性变换$\mathcal{A}(f)=(x-1)f\derv (x)+f(x)$. 设$\mathcal{A}$在基$1,x,x^2$下的矩阵为$A$, 则$A$的第1行第1列元素为$\underline{\qquad}$, 第1行第2列元素为$\underline{\qquad}$, 第2行第2列元素为$\underline{\qquad}$, 第2行第3列元素为$\underline{\qquad}$, 第3行第3列元素为$\underline{\qquad}$.
  4. (单选题, 4分) 设$\mathcal{A}$是线性空间$V$上的线性变换, 则"存在$V$上的线性变换$\mathcal{B}$使得$\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{E}$"是"$\mathcal{A}$可逆"的$(\qquad)$条件.




  5. (填空题, 每空1分) 设$V$是数域$P$上的$3$维线性空间, $\mathcal{A}\in L(V)$, $\mathcal{A}$在$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$下的矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & -3 \end{pmatrix}$. 设$\alpha=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$, 那么$\mathcal{A}\alpha$在基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$下的坐标的第1个分量为$\underline{\qquad}$, 第2个分量为$\underline{\qquad}$, 第3个分量为$\underline{\qquad}$.
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.