7.3 线性变换的矩阵(后半) - 线上练习
满分: 16分
(单选题, 4分) 设$V$是数域$P$上的线性空间, $\mathcal{A}\in L(V)$在基$\varepsilon_1,\varepsilon_2$下的矩阵为 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 则$\mathcal{A}$在基$\eta_1=\varepsilon_1+\varepsilon_2,\eta_2=\varepsilon_1$下的矩阵为$(\qquad)$.
A. $\begin{pmatrix} d & c+d \\ b-d & a+b-c-d \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} d-b & c+d-a-b \\ b & a+b \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} c+d-a-b & c-a \\ a+b & a \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} c+d & c \\ a+b-c-d & a-c \end{pmatrix}$
(单选题, 4分) 设$V$是数域$P$上的线性空间, $\RI, \RII, \RIII$是$V$的三组基, 线性变换$\mathcal{A}$在$\RI, \RII, \RIII$下的矩阵分别为$A, B, C$. 如果$A=Q_1^{-1}BQ_1, B=Q_2CQ_2^{-1}$, 那么$(\qquad)$.
A. $\RII=\RI Q_1, \RIII=\RI Q_1^{-1}Q_2$
B. $\RII=\RI Q_1^{-1}, \RIII=\RI Q_1^{-1}Q_2$
C. $\RII=\RI Q_1, \RIII=\RI Q_2Q_1^{-1}$
D. $\RII=\RI Q_1^{-1}, \RIII=\RI Q_2Q_1^{-1}$
(单选题, 4分) 设$A,B\in P^{n\times n}$, 则"$A$与$B$相似"是"$A$与$B$等价"的$(\qquad)$条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
(填空题, 每空4分) 设$A$是数域$P$上的$3$阶方阵, 且 $A \sim \begin{pmatrix} 1 & & \\ & -1 & \\ & & 2 \end{pmatrix}$. 令 $B=2A^2-A-3E$, 则$\mathrm{tr}(B)=(\qquad)$.
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.