7.5 对角化 - 线上练习
满分: 20分
  1. (单选题, 4分) 设$V$是$4$维复线性空间, $\mathcal{A}\in L(V)$在基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3, \varepsilon_4$下的矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & -1 \\ -2 & 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, 问$\mathcal{A}$有多少个线性无关的特征向量?




  2. (填空题, 每空2分) 设$V$是复线性空间, $\mathcal{A}\in L(V)$在基$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$下的矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\ -1 & a & 0 \\ 2 & 3 & -2 \end{pmatrix},$ 如果$-1$是$\mathcal{A}$的一个特征值, 那么$a=\underline{\qquad}$, $-1$的代数重数为$\underline{\qquad}$, 几何重数为$\underline{\qquad}$.
  3. (单选题, 4分) 设$V$是$3$维复线性空间, $\mathcal{A},\mathcal{B}\in L(V)$在基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$下的矩阵分别 $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -2 & -2 & 4 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, 则$(\qquad)$.




  4. (填空题, 每空6分) 设$V$是$3$维复线性空间, $\mathcal{A}\in L(V)$在基$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$下的矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 4 & -1 \\ 3 & a & 5 \end{pmatrix},$ 如果$\mathcal{A}$的一个特征值的代数重数为$2$且$\mathcal{A}$可对角化, 那么参数$a=\underline{\qquad}$.
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.