7.6 线性变换的值域与核 - 线上练习
满分: 12分
(填空题, 每空2分) 设$V$是数域$P$上的$4$维线性空间, $\mathcal{A}\in L(V)$在基$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4$下的矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$, 则$\mathcal{A}(V)$的维数为$\underline{\qquad}$, $\mathcal{A}^{-1}(0)$的维数为$\underline{\qquad}$.
(单选题, 4分) 设$V$是数域$P$上的$4$维线性空间, $\mathcal{A}\in L(V)$, 则以下说法错误的是$(\qquad)$.
A. $\mathcal{A}$是满射$\Leftrightarrow \mathcal{A}(V)=V$.
B. $\mathcal{A}$是单射$\Leftrightarrow \mathcal{A}^{-1}(0)=\{0\}$.
C. $\dim\mathcal{A}(V)+\dim\mathcal{A}^{-1}(0)=\dim V$.
D. $ \mathcal{A}(V)+\mathcal{A}^{-1}(0)=V$
(单选题, 4分) 设$V$是数域$P$上的线性空间, $\mathcal{A}\in L(V)$, 则"$\mathcal{A}$是单射"是"$\mathcal{A}$是满射"的$(\qquad)$条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.