7.7 不变子空间 - 线上练习
满分: 12分
(单选题, 4分) 设$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, 在$P^{2×2}$上定义线性变换 \[\mathcal{A}(Y)=AY-YA, \quad Y\in P^{2×2},\] 则以下哪个
不是
$\mathcal{A}$-子空间?
A. $\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Big|\, a=d, b=c \right\}$
B. $\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Big|\, a=-d, b=-c \right\}$
C. $\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Big|\, a=d \right\}$
D. $\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Big|\, a=-d \right\}$
(单选题, 4分) 设$\mathcal{A}$是线性空间$V$上的线性变换, $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r\in V$. 令$W=L(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r)$, 则 "$\mathcal{A}\alpha_i\in W,i=1,2,\ldots,r$" 是 "$W$是$\mathcal{A}$-子空间" 的$(\qquad)$条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
(单选题, 4分) 设线性变换$\mathcal{A}$在基$\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r,\varepsilon_{r+1},\ldots,\varepsilon_n$下的矩阵为 $\begin{pmatrix} A_{11} & O \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}$ 其中$A_{11}$是$r$阶方阵, $A_{22}$是$n-r$阶方阵. 记 \[W=L(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r), \quad U=L(\varepsilon_{r+1},\ldots,\varepsilon_n),\] 则$(\qquad)$.
A. $W$是$\mathcal{A}$-子空间, $U$不一定是$\mathcal{A}$-子空间
B. $U$是$\mathcal{A}$-子空间, $W$不一定是$\mathcal{A}$-子空间
C. $W, U$都是$\mathcal{A}$-子空间
D. $W, U$都不一定是$\mathcal{A}$-子空间
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.