8.1 $\lambda$-矩阵及其运算 8.2 $\lambda$-矩阵的初等变换与Smith标准形 - 线上练习
满分: 20分
(单选题, 4分) 设$A(\lambda)$是数域$P$上$n\times n$的$\lambda$-矩阵, 则"$R(A(\lambda))=n$"是"$A(\lambda)$可逆"的$(\qquad)$条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
(单选题, 4分) 以下哪个
不是
$\lambda$-矩阵的初等变换?
A. 交换两行
B. 把某一行乘以$\lambda$
C. 把某一行的$\lambda$倍加到另一行上
D. 把某一行的$−2$倍加到另一行上
(单选题, 4分) 设$A(\lambda),B(\lambda)$是数域$P$上的两个同型$\lambda$-矩阵, 则"$A(\lambda)$与$B(\lambda)$等价"是"$R(A(\lambda))=R(B(\lambda))$"的$(\qquad)$条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
(单选题, 4分) 设$A$是数域$P$上的$n$阶方阵, 关于特征矩阵$\lambda E-A$, 以下说法
错误
的是$(\qquad)$.
A. $\lambda E-A$有$n$个不变因子
B. $\lambda E-A$有$n$个行列式因子
C. $\lambda E-A$的所有不变因子之积等于$A$的特征多项式
D. $\lambda E-A$的所有行列式因子之积等于$A$的特征多项式
(单选题, 4分) $A(\lambda)= \begin{pmatrix} 0 & \lambda & 0 & \lambda \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & \lambda^2-\lambda+1 & \lambda^2+1 \\ 0 & \lambda^2 & -\lambda^2+\lambda & \lambda \end{pmatrix}$ 的第2, 第3个不变因子分别为$(\qquad)$.
A. $1, \lambda(\lambda-1)$
B. $1, \lambda(\lambda+1)$
C. $\lambda, \lambda(\lambda-1)$
D. $\lambda, \lambda(\lambda+1)$
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.