9.1 定义与基本性质 - 线上练习
满分: 22分
  1. (单选题, 4分) 设$\alpha=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}, \beta=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^2$, 定义二元实函数 \[\RI : (\alpha,\beta)=3a_1b_1+2a_2b_2, \quad \RII : (\alpha,\beta)=a_1b_1−a_2b_1−a_1b_2+4a_2b_2,\] 则$(\qquad)$.




  2. (单选题, 4分) 在欧氏空间$\mathbb{R}^4$中, 向量 $\alpha=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \beta=\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix}$ 的夹角为$(\qquad)$.




  3. (单选题, 4分) 设$V$是欧氏空间, $\alpha,\beta\in V$, 考查以下(不)等式: \[\RI: |\alpha-\beta|\geqslant |\alpha|-|\beta|, \quad \RII: |\alpha+\beta|^2+|\alpha-\beta|^2=2|\alpha|^2+2|\beta|^2, \quad \RIII: |\alpha+\beta|^2-|\alpha-\beta|^2=4(\alpha,\beta),\] 其中正确的个数为$(\qquad)$.




  4. (单选题, 4分) 设$\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_n$是欧氏空间$V$的基, $\alpha\in V$, 则"$(\eta_i,\alpha)=0,i=1,2,\ldots,n$"是"$\alpha=0$"的$(\qquad)$条件.




  5. (填空题, 每空1分) 在欧氏空间$\mathbb{R}^3$中, 基 \[\varepsilon_1 =\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \varepsilon_2 =\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \varepsilon_3 =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\] 的度量矩阵的第1行第1列元素为$\underline{\qquad}$, 第1行第2列元素为$\underline{\qquad}$, 第1行第3列元素为$\underline{\qquad}$, 第2行第2列元素为$\underline{\qquad}$, 第2行第3列元素为$\underline{\qquad}$, 第3行第3列元素为$\underline{\qquad}$.
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.