9.4 正交变换 9.5 子空间 - 线上练习
满分: 16分
(单选题, 4分) 设$\mathcal{A}$是欧氏空间$V$上的线性变换, 则"$\mathcal{A}$是正交变换"是"$\mathcal{A}$是$V$到自身的同构映射"的$(\qquad)$条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
(单选题, 4分) 设$\mathcal{A}$是欧氏空间$V$上的线性变换, 取定$V$的一组基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_n$, 则"$|\mathcal{A}\varepsilon_i|=|\varepsilon_i|, i=1,2,\ldots,n$"是"$\mathcal{A}$是正交变换"的$(\qquad)$条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
(单选题, 4分) 设$V_1,V_2$是欧氏空间$V$的子空间, 则"$V_1$与$V_2$正交"是"$V_1+V_2$是直和"的$(\qquad)$条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
(单选题, 4分) 设$V$是$n$维欧氏空间, $W$是$V$的子空间, 则以下说法错误的是$(\qquad)$.
A. $W^\bot$存在唯一
B. $W^\bot$由$V$中所有与$W$正交的向量组成
C. 对任意$\alpha$, 存在唯一的$\beta\in W$使得$(\alpha−\beta)\bot W$
D. 若$\dim W=n−1$, 那么$W^\bot$中有且仅有$1$个单位向量
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.