9.6 实对称矩阵的标准型(前半) - 线上练习
满分: 16分
(单选题, 4分) 设实系数多项式$f(\lambda)=\lambda^2+b\lambda+c$, 其中$b, c$是实数, 则$f(\lambda)$是某个实对称矩阵的特征多项式的充分必要条件为$(\qquad)$.
A. $b^2-4c \gg 0$
B. $b^2-4c \ll 0$
C. $b^2-4c\geqslant 0$
D. $b^2-4c\leqslant 0$
(填空题, 每空2分) 设$3$阶实对称矩阵$A$的所有互不相同特征值为$−1, 1$, 且 $X_1=\begin{pmatrix} 1 \\ −1 \\ 1 \end{pmatrix}, X_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ 是$A$属于特征值$−1$的特征向量, $X_3=\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ b \end{pmatrix}$ 是$A$属于特征值$1$的特征向量, 则$a=\underline{\qquad}, b=\underline{\qquad}$.
(填空题, 每空2分) 如果实二次型的 \[f=t(x_1^2+x_2^2+x_3^2)−4x_1x_2−4x_2x_3+4x_3x_1\] 的符号差为$−1$, 那么 $\underline{\qquad} \ll t \ll \underline{\qquad}$ .
(填空题, 每空2分) 设$A$是$n$阶实对称矩阵, 且$A^3−2A^2−3A=O$, 如果$R(A)=4$, $A$的负惯性指数为$1$, 那么 $\mathrm{tr}(A)=\underline{\qquad}, |E−A|=\underline{\qquad}$.
注: 填空题如有多个无序答案, 按从小到大顺序填写.